Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & 1 j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $j$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $k$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & k \end{array}]$

Étape 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Étape 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Étape 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Étape 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Étape 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 3.9

Add the terms together.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} | - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (j k - 3 j (6 k)) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 i (j k - 3 \cdot 6 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- 3 i (j k - 18 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 4.2.2

Soustrayez $18 j k$ de $j k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 2 i (6 k)) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 12 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12 i k$ de $5 i k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Étape 6

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (5 i (3 j) - 2 i j)$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (15 i j - 2 i j)$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2 i j$ de $15 i j$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez $- 17$ par $- 3$ .

$51 i (j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Étape 7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$51 i j k - 2 \cdot - 7 i j k + 4 k (13 i j)$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$51 i j k + 14 i j k + 4 k (13 i j)$

Étape 7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$51 i j k + 14 i j k + 4 \cdot 13 i k j$

Étape 7.1.5

Multipliez $4$ par $13$ .

$51 i j k + 14 i j k + 52 i k j$

Étape 7.2

Additionnez $51 i j k$ et $14 i j k$ .

$65 i j k + 52 i k j$

Étape 7.3

Déplacez $k$ .

$65 j k i + 52 j k i$

Étape 7.4

Additionnez $65 j k i$ et $52 j k i$ .

$117 j k i$